Một cách chứng minh tứ giác nội tiếp

Thông thường ta chứng minh tứ giác $ABCD$ nội tiếp như sau (tuỳ theo trường hợp).
 

  1. 1. $A$ và $D$ cùng nhìn $BC$ dưới 1 góc vuông. Khi đó tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$. Tổng quát, nếu $A$ và $D$ cùng nhìn $BC$ dưới cùng một góc thì tứ giác $ABCD$ nội tiếp.
    chin1a
  2. 2. Hai góc đối diện của tứ giác bù nhau.
  3. 3. Một góc trong của tứ giác đó bằng góc ngoài của góc đối diện.

 
Cả ba trường hợp nói trên đều sử dụng góc. Trong khuôn khổ lớp 9, ít khi nào học sinh sử dụng đến hệ thức lượng. Nếu có sử dụng thì cũng đưa về tam giác đồng dạng để dẫn đến hai góc bằng nhau.
 

Trong bài thi vào lớp 10 năm 2021 của TP Đà Nẵng có nhiều bài toán tính toán phức tạp. Để có thể chứng minh tứ giác nội tiếp, chúng tôi cho rằng nên đưa thêm tiêu chuẩn tứ giác nội tiếp dựa vào hệ thức lượng như sau:

Cho tứ giác $ABCD$ sao cho $AB$ và $CD$ kéo dài cắt nhau tại $M$. Khi đó tứ giác $ABCD$ nội tiếp được khi và chỉ khi $$MA.MB=MC.MD$$

chin1b

 

Áp dụng

 
 

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$($D \in AC, E \in AB$). Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AM$ tại điểm $G$ ($G$ khác $A$). Chứng minh $\widehat{MAC}=\widehat{GCM}$.

chin1c
 

Bước 1: Chứng minh $\mathbf{MD}$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $\mathbf{AH}$.
 

Suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{MDG}$ (cùng chắn cung $DG$) (1)

 

Bước 2: Chứng minh tứ giác $\mathbf{CDGM}$ nội tiếp.
 

Suy ra $\widehat{MDG}=\widehat{GCM}$ (cùng chắn cung $GM$) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{GCM}$.

 
 

Chứng minh bước 1:
\begin{align*}\widehat{MDI}&=\widehat{MDB}+\widehat{BDI}\ \text{trong đó}\ \left\lbrace\begin{array}{l} \widehat{MDB} = \widehat{MBD}\\ \widehat{BDI} = \underbrace{\widehat{IHD}=\widehat{BCD}}_{\text{góc có các cạnh vuông góc}}\end{array}\right.\\
&=\widehat{MBD}+\widehat{BCD}=90^\circ\end{align*}

 
 

Chứng minh bước 2:

  1. $\bullet\ $ Tứ giác $EBCD$ nội tiếp nên $\widehat{EBC}=\underbrace{\widehat{ADE}=\widehat{AGE}}_{\text{cùng chắnn cung AE}}$
  2. $\bullet\ $ Do đó tứ giác $EBGM$ nội tiếp, suy ra $AE.AB=AG.AM$. Ngoài ra Tứ giác $EBCD$ nội tiếp nên nên $$AE.AB=AD.AC$$
  3. $\bullet\ $ Do đó $AG.AM=AD.AC$ suy ra tứ giác $MGDC$ nội tiếp (đpcm)

 
 

PS. Thầy Sơn không giỏi giải Toán lớp 9 bằng các Thầy/cô dạy lớp 9 nên mới phải đưa nhiều tiêu chuẩn cho tứ giác nội tiếp để sử dụng. Đối với học sinh cũng vậy, nếu các em dự tuyển vào trường top trên, các thầy cô cũng nên hướng dẫn thêm cho các em về tiêu chuẩn này, phòng khi gặp bài toán khó (như bài toán Hình học của Đà Nãng là khó). GV Đà Nẵng họ nói “vừa sức” nhưng các em khẳng định khó từ câu 2B. Tất nhiên có vài em được điểm 10 rất đáng khen.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

hinh1 1

Bài toán về phép giải tam giác trong bài thi HSG MTCT cấp THCS

Tháng 1/2021 kỳ thi HSG MTCT do SGD và ĐT TP HCM tổ chức tiếp …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết