MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON TRONG ĐỀ THI HSG MÁY TÍNH CẦM TAY- PHẦN 1

Bài 1. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức ${{(5x+\sqrt{7})}^{11}}$

Hướng dẫn giải

Ta có \[{{(5x+\sqrt{7})}^{11}}=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{(5x)}^{k}}{{(\sqrt{7})}^{11-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{5}^{k}}{{(\sqrt{7})}^{11-k}}}{{x}^{k}}\]

Hệ số của số hạng tổng quát ${{a}_{k}}=C_{11}^{k}{{.5}^{k}}{{(\sqrt{7})}^{11-k}};k\in \mathbb{Z},0\le k\le 11$

Xét

$\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}<1$$\Leftrightarrow   \dfrac{C_{11}^{k}{{.5}^{k}}.{{(\sqrt{7})}^{11-k}}}{C_{11}^{k+1}{{.5}^{k+1}}.{{(\sqrt{7})}^{10-k}}}<1$ $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{7}}{5}.\dfrac{k+1}{11-k}<1$ $\Rightarrow k<6,8$

$\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}>1$$\Leftrightarrow   \dfrac{C_{11}^{k}{{.5}^{k}}.{{(\sqrt{7})}^{11-k}}}{C_{11}^{k+1}{{.5}^{k+1}}.{{(\sqrt{7})}^{10-k}}}>1$$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{7}}{5}.\dfrac{k+1}{11-k}>1$$\Rightarrow k>6,8$

Vì  $k\in \mathbb{Z},0\le k\le 11$ nên ta có: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<…<{{a}_{6}}$ và ${{a}_{7}}>{{a}_{8}}>…>{{a}_{11}}$

Mặt khác $\dfrac{{{a}_{6}}}{{{a}_{7}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5}.\dfrac{7}{5}<1\Rightarrow {{a}_{6}}<{{a}_{7}}$

Từ đó suy ra $\max \{{{a}_{k}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }={{a}_{7}}=C_{11}^{7}{{.5}^{7}}.{{(\sqrt{7})}^{4}}$

image001

Bài 2. Cho khai triển nhị thức (a + b)n với a, b ¹ 0 theo công thức Niu-tơn. Gọi ba số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba của khai triển lần lượt là $p,\,\,q,\,\,r.$ Biết $17{{q}^{2}}=36pr.$Tính tổng S tất cả các hệ số của khai triển.

Hướng dẫn giải

\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\]

Ba số hạng đầu tiên theo thứ tự là $p=C_{n}^{0}{{a}^{n}},q=C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b,r=C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}$

Từ giả thiết suy ra $17{{\left( C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b \right)}^{2}}=36.C_{n}^{0}{{a}^{n}}.C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}$

Hay $17{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}=36.C_{n}^{0}.C_{n}^{2}\Leftrightarrow 17{{n}^{2}}=36.\dfrac{n(n-1)}{2}$$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-18n=0\Leftrightarrow n=18$

Tổng tất cả các hệ số của khai triển là $S$

\[S=C_{18}^{0}+C_{18}^{1}+…+C_{18}^{18}={{2}^{18}}= 262144\]

image002 hoặc image003

Bài 3. Tính tổng \[S=2C_{18}^{1}+{{2}^{3}}C_{18}^{3}+{{2}^{5}}C_{18}^{5}+…+{{2}^{17}}C_{18}^{17}\].

Hướng dẫn giải

Cách 1.

Xét nhị thức ${{(1+x)}^{18}}=C_{18}^{0}+C_{18}^{1}x+C_{18}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{18}^{17}{{x}^{17}}+C_{18}^{18}{{x}^{18}}$

x = 2 ta được ${{3}^{18}}=C_{18}^{0}+C_{18}^{1}3+…+C_{18}^{17}{{3}^{17}}+C_{18}^{18}{{3}^{18}}$      (1)

x = -2 ta được ${{(-1)}^{18}}=C_{18}^{0}-C_{18}^{1}3+…-C_{18}^{17}{{3}^{17}}+C_{18}^{18}{{3}^{18}}$ (2)…

Từ đó nên (1) – (2) ta được kết quả S

\[\,\,S=\dfrac{1}{2}({{3}^{18}}-1)=193710244\]

image004

Cách 2.

\[S=2C_{18}^{1}+{{2}^{3}}C_{18}^{3}+{{2}^{5}}C_{18}^{5}+…+{{2}^{17}}C_{18}^{17}=\sum\limits_{x=0}^{8}{{{2}^{2x+1}}C_{18}^{2x+1}}\]

image005

Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về các bài viết hướng dẫn giải toán casio cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO

Chia sẻ

About Ngọc Hiền Bitex

Bitex Ngọc Hiền

Bài Viết Tương Tự

gtln và gtnn 2019

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VNX TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài toán xác định GTNN và GTLN của một hàm số là một dạng toán …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết