Dùng đa thức nội suy Newton tính giá trị biểu thức

Đề bài: Cho đa thức [latex]f(x)[/latex] có bậc 6, biết [latex]f(5)=-1919;\,f(6)=-1900;\, f(7)=-1881;\,f(8)=-1862;\,f(9)=83645;\,f(10)=469056;\,f(11)=1554835[/latex].

Tính [latex]f(12);\,f(49)[/latex].

(Bài 3 Đề thi giải toán MTCT tỉnh Bình Thuận 2013-2014 lớp 9)

Bài giải

Dùng công thức nội suy Newton, ta có:

[latex]\begin{array}{c}f(x)=A+B(x-5)+C(x-5)(x-6)+D(x-5)(x-6)(x-7)+\\+E(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)+F(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)\\+G(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)\end{array}[/latex]

 

+ Từ [latex]f(5)[/latex]. Ta tính được [latex]A=-1919[/latex].

+ Từ [latex]f(6)[/latex]. Ta tính được [latex]B=19[/latex].

+ Từ [latex]f(7)[/latex]. Ta tính được [latex]C=0[/latex].

+ Từ [latex]f(8)[/latex]. Ta tính được [latex]D=0[/latex].

+ Từ [latex]f(9)[/latex]. Ta tính được [latex]E=3562[/latex].

+ Từ [latex]f(10)[/latex]. Ta tính được [latex]F=362[/latex].

+ Từ [latex]f(11)[/latex]. Ta tính được [latex]G=19[/latex].

Vậy đa thức cần tìm là:

[latex]\begin{array}{c}f(x)=-1919+19(x-5)+3562(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)\\+362(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)\\+19(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)\end{array}[/latex]

 

Vì cần tính 2 giá trị nên ta lưu các điểm mà cần tính giá trị tại đó.

Đầu tiên lưu 12 vào bộ nhớ A.

Ghi vào màn hình công thức:

[latex](A-5)(A-6)(A-7)(A-8)\left[19(A-9)(A-10)+362(A-9)+3562\right]+19(A-5)-1919[/latex]

 

Ta tính được [latex]f(12)=3998294[/latex].

Tiếp theo, nhớ 49 vào ô nhớ A. Bấm = thì màn hình xuất hiện như dưới đây, ta dùng một chút biến đổi sau:

Đưa lên màn hình như sau:

Bấm =, ta được:

Vậy

[latex]f(49)=155349099285[/latex]