ÔN TẬP TUYỂN SINH 10- BIỆN LUẬN NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Cơ sở lý thuyết

[dropshadowbox align=”none” effect=”lifted-both” width=”auto” height=”” background_color=”#ffffff” border_width=”1″ border_color=”#dddddd” ]

ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: $latex a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\ \end{align} \right.$

Phương trình có hai nghiệm kép khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\  & \Delta =0,\left( {\Delta }’=0 \right) \\ \end{align} \right.$

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & \Delta <0,\left( {\Delta }'<0 \right) \\ \end{align} \right.$

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi $latex \left\{ \begin{align} & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\  & P>0 \\ \end{align} \right.$

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $latex P<0$ (khi $latex P<0$ thì hiển nhiên ta có $latex \Delta >0$ do đó ta không cần kiểm tra điều kiện $latex \Delta >0$)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\  & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\  & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{align} \right.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\  & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\  & S<0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right.$

[/dropshadowbox]

Bài toán 1. Cho phương trình $latex {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+3=0$ với $latex m$ là tham số

1. Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có nghiệm.
2. Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
3. Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
4. Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
5. Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

Hướng dẫn giải.

a. Phương trình $latex {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+3=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$latex {\Delta }’\ge 0$ $latex \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)\ge 0$ $latex \Leftrightarrow 6m-2\ge 0$ $latex \Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{3}$

Vậy khi $latex m\ge \dfrac{1}{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm

b. Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

$latex \left\{ \begin{align}& {\Delta }’>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\& {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.$  $latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>\dfrac{1}{3} \\  & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \dfrac{1}{3}<m<1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right.$

Vậy phương trình trên có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi $latex \dfrac{1}{3}<m<1$ hoặc $latex m>3$

c. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $latex P<0$$latex \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+3<0$$latex \Leftrightarrow 1<m<3$

d. Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi

$latex \left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\  & S<0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\ & 2\left( m+1 \right)<0 \\  & {{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>\dfrac{1}{3} \\  & m<-1 \\  & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow $ vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị $latex m$ để phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm âm

e. Phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

$latex \left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\  & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\  & 2\left( m+1 \right)>0 \\ & {{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>\dfrac{1}{3} \\  & m>-1 \\  & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \dfrac{1}{3}<m<1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right.$

Vậy phương trình trên có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi $latex \dfrac{1}{3}<m<1$ hoặc $latex m>3$

Bài toán 2.  Cho phương trình $latex 2{{x}^{2}}-4x-3+m=0$ với $latex x$ là ẩn số và $latex m$ là tham số

1. Tìm $latex m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$
2. Tìm $latex m$ để $latex x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$

Hướng dẫn giải       

a. Phương trình $latex 2{{x}^{2}}-4x-3+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$khi và chỉ khi

$latex {\Delta }’>0$ $latex \Leftrightarrow {{b}^{2}}-ac>0$ $latex \Leftrightarrow 4-2\left( -3+m \right)>0$ $latex \Leftrightarrow 5-m>0\Leftrightarrow m<5$

Vậy với $latex m<5$ thì phương trình $latex 2{{x}^{2}}-4x-3+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt

b. Xét phương trình $latex 2{{x}^{2}}-4x-3+m=0$ khi $latex m<5$

Theo định lý Viet ta có $latex \left\{ \begin{align}  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\  & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{-3+m}{2} \\ \end{align} \right.$

Ta có: $latex x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$$latex \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=8$ $latex \Leftrightarrow 4-\left( -3+m \right)=8$ $latex \Leftrightarrow m=-1$ (nhận)

Vậy với $latex m=-1$ thì $latex x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$

Bài toán 3. Cho phương trình $latex {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0$ với $latex m$ là tham số và $latex x$ là ẩn số

1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi $latex m$
2. Gọi $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm $latex m$ để $latex x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9$

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $latex \Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}+12m={{m}^{2}}+6m+9={{\left( m+3 \right)}^{2}}\ge 0\forall m$

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi $latex m$(đpcm)
Theo định lý Viet ta có $latex \left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m \\& P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3m \\\end{align} \right.$

Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\\$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\\$

$\Leftrightarrow {{\left( 3-m \right)}^{2}}+9m=9\\$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m=0\\$

$\Leftrightarrow m\left( m+3 \right)=0\\$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=0 \\& m=-3 \\\end{align} \right.\\$

Nhận xét.

Với $latex m=0$ thì $latex \Delta >0$, suy ra phương trình $latex {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0$có hai nghiệm phân biệt .

Với $latex m=-3$ thì $latex \Delta =0$, suy ra phương trình $latex {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0$có hai nghiệm kép.

Bài toán 4. Cho phương trình $latex {{x}^{2}}-2mx+m-2=0$ với $latex m$ là tham số và $latex x$ là ẩn số

1. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi $latex m$
2. Gọi $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $latex m$ để $latex M=\dfrac{-48}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

a.Ta có $latex \Delta ={{m}^{2}}-\left( m-2 \right)$ $latex ={{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}$ $latex ={{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{4}\ge \dfrac{7}{4}>0\forall m$

Suy ra phương trình $latex {{x}^{2}}-2mx+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $latex m$(đpcm).

b. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\& P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2 \\\end{align} \right.\\$

$M=\dfrac{-48}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $latex =\dfrac{-48}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{-48}{4{{m}^{2}}-8\left( m-2 \right)}$ $latex =\dfrac{-48}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\\$

Ta có: ${{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12\ge 12\forall m\\$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\le \dfrac{1}{12}\forall m\\$

$\Leftrightarrow \dfrac{-48}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\ge -4\forall m\\$

Suy ra $latex Max\left( M \right)=-4$. Dấu $latex ”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $latex \left( 2m-2 \right)=0\Leftrightarrow m=1$

Bài toán 5. Cho phương trình $latex {{x}^{2}}-mx-1=0$ với $latex m$ là tham số và $latex x$ là ẩn số

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
2. Gọi $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị $latex M=\dfrac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\dfrac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$

Hướng dẫn giải

a. Xét phương trình $latex {{x}^{2}}-mx-1=0$ ($latex m$ là tham số và $latex x$ là ẩn số) ta có: $latex P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1<0\forall m$

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu (đpcm)

b. $M=\dfrac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\dfrac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}\\$

$M={{x}_{1}}+1-\dfrac{1}{{{x}_{1}}}-{{x}_{2}}-1+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}\\$

$M=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\\$

$M=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\\$

Theo định lý Viet ta có: $latex \left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\ \end{align} \right.$

Ta có: $latex {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $latex ={{m}^{2}}+4$

$latex {{M}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}{{\left( 1+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)}^{2}}=\left( {{m}^{2}}+4 \right)\times 0=0$

Vậy $latex M=0$

 

About Ngọc Hiền Bitex

Bài viết liên quan

BỘ ĐỀ THI HKII LỚP 9

19/03/2024

BỘ ĐỀ THI HKII LỚP 8

19/03/2024

BỘ ĐỀ THI HKII LỚP 7

18/03/2024

BỘ ĐỀ THI HKII LỚP 6

18/03/2024

BỘ ĐỀ THI GIỮA HKII LỚP 9 NĂM HỌC 2022-2023

20/02/2024

BỘ ĐỀ THI GIỮA HKII LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023

20/02/2024