Bài toán về phép giải tam giác trong bài thi HSG MTCT cấp THCS

Tháng 1/2021 kỳ thi HSG MTCT do SGD và ĐT TP HCM tổ chức tiếp tục được duy trì. Để giúp các thầy cô phụ trách đội tuyển có thêm tài liệu tham khảo để bồi dưỡng đội tuyển, chúng tôi giới các đề thi gần đây của SGD và ĐT TP HCM.

Bài 9. Cho tam giác ABC có cạnh $AB = 5,7; BC = 8,3; CA = 7,6$. Đường trung tuyến $AM$ cắt phân giác $BD$ tại $I$. Tính (chính xác đến 2 chữ số thập phân):

  1. $IA, IB, IC$.
  2. Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$.
  3. Bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $CDM$.
  4. Diện tích $S$ của tứ giác $CDIM$.

1. Định lý Mê-nê-la-uýt

hinh1 1

Áp dung định lý Mê-nê-la-uyt cho tam giác $BDC$ ta có: $$\dfrac{IB}{ID}\times \dfrac{AD}{AC}\times\dfrac{MC}{MB} =1$$

Cách nhớ định lý Mê-nê-la-uyt:

$\dfrac{\quad B}{\quad\color{white}D}\times \dfrac{\quad D}{\quad\color{white}C}\times\dfrac{\quad C}{\quad\color{white}B} =1$

 

$\dfrac{IB}{\color{white}ID}\times \dfrac{AD}{\color{white}AC}\times\dfrac{MC}{\color{white}MB} =1$

 

Cụ thể với bài toán đã cho ta có:

$\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}$hinh2 1  $\Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=$hinh3 1.

 $\Rightarrow \dfrac{IB}{ID}=$hinh4 1.

Suy ra
$\dfrac{IB}{BD}=$hinh7 1

Tính được $IB$ dùng hệ thức hàm cos ta tính được $IA$ và $IC$.

2. Tính độ dài đường phân giác 

Sử dụng lại hình vẽ ở trên, ta tính đoạn phân giác $BD$

Ta có: $S_{BAD}+S_{BDC}=S_{BAC}\Leftrightarrow \dfrac12.BA.BD.\sin\dfrac{B}{2}+\dfrac12.BD.BC.\sin\dfrac{B}{2}=\dfrac12.BA.BC.\sin B$

Trong khuôn khổ lớp 9 (HSG MT) ta có công thức (ghi nhớ):

$$BD=\dfrac{BA.BC.\sin B}{(BA+BC)\sin\dfrac{B}{2}}$$

trong đó góc $B$ được tính bởi công thức:

$$B=\arccos\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2BA.BC}$$

$\widehat{B}=$ hinh5 1 lưu vào B.

$BD=$ hinh6 1 lưu vào F.

$IB=$hinh8 1 

$IA=$ hinh9 1 

$IC=$hinh10 1 

3. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$.

$DM=\sqrt{BD^2+BM^2-2.BD.BM.\cos \dfrac{B}{2}}$hinh11 2 lưu vào D.

$\widehat{C}=$hinh12 1 lưu vào C.

 

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$ là

$R=\dfrac{DM}{2\sin C}$ hinh13 2 lưu vào x.

4. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác $CDM$.

$CD=$hinh14 lưu vào y.

$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{abc}{2R(a+b+c)}$ hinh15

5. Diện tích tứ giác  $CDMI$.

$$S_{CDMI}=S_{BCD}-S_{BMI}=S_{BCD}.\left(1-\dfrac{BI}{BD}\times \dfrac{BM}{BC}\right)$$

hinh16

Đáp án: Vì  không có sẵn đáp án của đề thi nên chúng tôi dùng geogebra để vẽ hình và xuất ra đáp án sau đây để đối chiếu với kết quả tính toán. Theo yêu cầu của bài toán đáp số viết dưới dạng số thập phân với hai số lẻ thập phân sau dấu phẩy

dapan

 

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

cute asian kid doing math 1024x683 1611832491

Thắc mắc hỏi Thầy Sơn

  Thắc mắc của Thầy Hiền thú vị nhưng không phải lạ vì cách đây …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết