Giải đề thi môn Toán tuyển sinh 10 (Hà Nội)

Bài I: Cho hai biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+9}{x-9}$  với $x \geqslant 0, x \ne 9$

  1. 1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$
  2. 2) Chứng minh $A+B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}$

 

Giải

  1. 1) hn1a
  2. 2) $A+B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+9}{x-9}=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-3x-9}{x-9}=\dfrac{3(\sqrt{x}-3)}{x-9}$.
    Vậy $A+B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}$ (đpcm)

Bài II:

  1. 1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
    Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được  nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.)
  2. 2)

Giải

Gọi $x$  là  số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ sản xuất phải làm mỗi ngày. $x$ nguyên dương.

Theo đề bài ta có phương trình:

$$\dfrac{4800}{x}-\dfrac{4800}{x+100}=8\Leftrightarrow 600(x+100)-600x=x(x+100)\Leftrightarrow x^2+100x-60000=0$$

hn2a

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 200 bộ đồ bảo hộ y tế.

 

2) hn2b

Diện tích xung quanh của hình trụ cho bởi công thức $$S_{\text{xq}}=2\pi Rh$$

hn2c 2$m^2$.

 

hn3a

 

Giải

  1. 1) Đặt $u=\dfrac{1}{x+1}$Xét hệ phương trình  hn3bVậy $\dfrac{1}{x+1}=1 , y=2 \Leftrightarrow x=0, y=2$
  2. 2) Hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình  $$x^2=2x+m-2\Leftrightarrow x^2-2x-m+2=0$$$\Delta’=1+m-2=m-1$
    $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta’>0 \Leftrightarrow m>1$.
    $$|x_1-x_2|=2\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4 \ \text{với}\ \left\{\begin{array}{lll}
    x_1+x_2&=&2\\x_1x_2&=&-m+2\end{array}\right.$$
    Xét phương trình: hn3c.Vậy $m=2$

 

hn4a

 

hnm

1) Tứ giác $ABMC$ có $A$ và $M$ cùng nhìn $BC$ dưới 1 góc vuông nên nội tiếp đường tròn  đường kính  $BC$.

2) Hai tam giác vuông $ANC$ và $MPC$ có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng   nhau (AN=MP , AC=MC) nên hai tam giác này bằng  nhau. Vậy $CN=CP$, do đó tam giác $CPN$ cân tại $C$.

 

Gọi $D$ là trung điểm của $NP$. Do tam giác $CNP$ cân tại $C$ nên $CD\perp NP$.

Tứ giác $ANDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $CN$ nên $\widehat{D_1}=\widehat{C_1}$.

Tứ giác $CDMP$ nội tiếp đường tròn đường kính $CP$ nên $\widehat{D_2}=\widehat{C_2}$.

Mà $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$ (do hai tam giác vuông ở trên bằng nhau) suy ra $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$, do đó ba điểm $A, D, M$ thẳng hàng. Suy ra đpcm.

 

hn5a

Ta có: $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab \Rightarrow ab=\dfrac{(a+b)^2-2}{2}$

$P=3(a+b)+\dfrac{(a+b)^2-2}{2}=\dfrac{(a+b)^2+6(a+b)-2}{2}=\dfrac{(a+b+3)^2-11}{2}$

Ngoài ra vì $a^2+b^2=2$ nên $|a+b|\leqslant \sqrt2.\sqrt{a^2+b^2}=2\Rightarrow a+b \geqslant -2$. Vậy $P\geqslant -5$. Xảy ra dấu bằng khi $a+b=-2\Leftrightarrow a=b=-1$

Do đó GTNN của $P$ là $-5$.

 

 

Tham khảo đáp án của SGD và ĐT Hà Nội theo một trong  hai cách

Cách 1: Bấm vào đây

Cách 2: Đợi trình duyệt load file pdf

Loader Loading...
EAD Logo Taking too long?

Reload Reload document
| Open Open in new tab
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

ÔN TẬP TUYỂN SINH LỚP 10- HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Vẽ đồ thị hàm số là bài toán luôn xuất hiện ở hầu hết các …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết