Giải đề thi môn Toán tuyển sinh 10 (Hà Nội)

Bài I: Cho hai biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+9}{x-9}$  với $x \geqslant 0, x \ne 9$

  1. 1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$
  2. 2) Chứng minh $A+B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}$

 

Giải

  1. 1) hn1a
  2. 2) $A+B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+9}{x-9}=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-3x-9}{x-9}=\dfrac{3(\sqrt{x}-3)}{x-9}$.
    Vậy $A+B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}$ (đpcm)

Bài II:

  1. 1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
    Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được  nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.)
  2. 2)

Giải

Gọi $x$  là  số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ sản xuất phải làm mỗi ngày. $x$ nguyên dương.

Theo đề bài ta có phương trình:

$$\dfrac{4800}{x}-\dfrac{4800}{x+100}=8\Leftrightarrow 600(x+100)-600x=x(x+100)\Leftrightarrow x^2+100x-60000=0$$

hn2a

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 200 bộ đồ bảo hộ y tế.

 

2) hn2b

Diện tích xung quanh của hình trụ cho bởi công thức $$S_{\text{xq}}=2\pi Rh$$

hn2c 2$m^2$.

 

hn3a

 

Giải

  1. 1) Đặt $u=\dfrac{1}{x+1}$Xét hệ phương trình  hn3bVậy $\dfrac{1}{x+1}=1 , y=2 \Leftrightarrow x=0, y=2$
  2. 2) Hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình  $$x^2=2x+m-2\Leftrightarrow x^2-2x-m+2=0$$$\Delta’=1+m-2=m-1$
    $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta’>0 \Leftrightarrow m>1$.
    $$|x_1-x_2|=2\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4 \ \text{với}\ \left\{\begin{array}{lll}
    x_1+x_2&=&2\\x_1x_2&=&-m+2\end{array}\right.$$
    Xét phương trình: hn3c.Vậy $m=2$

 

hn4a

 

hnm

1) Tứ giác $ABMC$ có $A$ và $M$ cùng nhìn $BC$ dưới 1 góc vuông nên nội tiếp đường tròn  đường kính  $BC$.

2) Hai tam giác vuông $ANC$ và $MPC$ có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng   nhau (AN=MP , AC=MC) nên hai tam giác này bằng  nhau. Vậy $CN=CP$, do đó tam giác $CPN$ cân tại $C$.

 

Gọi $D$ là trung điểm của $NP$. Do tam giác $CNP$ cân tại $C$ nên $CD\perp NP$.

Tứ giác $ANDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $CN$ nên $\widehat{D_1}=\widehat{C_1}$.

Tứ giác $CDMP$ nội tiếp đường tròn đường kính $CP$ nên $\widehat{D_2}=\widehat{C_2}$.

Mà $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$ (do hai tam giác vuông ở trên bằng nhau) suy ra $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$, do đó ba điểm $A, D, M$ thẳng hàng. Suy ra đpcm.

 

hn5a

Ta có: $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab \Rightarrow ab=\dfrac{(a+b)^2-2}{2}$

$P=3(a+b)+\dfrac{(a+b)^2-2}{2}=\dfrac{(a+b)^2+6(a+b)-2}{2}=\dfrac{(a+b+3)^2-11}{2}$

Ngoài ra vì $a^2+b^2=2$ nên $|a+b|\leqslant \sqrt2.\sqrt{a^2+b^2}=2\Rightarrow a+b \geqslant -2$. Vậy $P\geqslant -5$. Xảy ra dấu bằng khi $a+b=-2\Leftrightarrow a=b=-1$

Do đó GTNN của $P$ là $-5$.

 

 

Tham khảo đáp án của SGD và ĐT Hà Nội theo một trong  hai cách

Cách 1: Bấm vào đây

Cách 2: Đợi trình duyệt load file pdf

Loader Loading...
EAD Logo Taking too long?

Reload Reload document
| Open Open in new tab
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Mau dao va Xanh duong Minh hoa Lop Tieng Anh Giao duc Bai thuyet trinh

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VN X VÀO CÁC BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1: Nhà ban Long có gác lừng cao so với nền nhà là 3m. …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết