SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NÂNG LŨY THỪA VÀ ĐỊNH LÝ VIET ĐẢO ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình chứa căn hay còn gọi là phương trình vô tỷ là một bài toán thường gặp trong chương trình phổ thông và gây rất nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình làm bài. Trong 

Cơ sở lý thuyết

[dropshadowbox align=”none” effect=”lifted-both” width=”auto” height=”” background_color=”#ffffff” border_width=”1″ border_color=”#dddddd” ]

Nếu một đa thức $latex P\left( x \right)$ có các nghiệm phân biệt $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và $latex S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$, $latex P={{x}_{1}}{{x}_{2}}$ thì đa thức $latex P\left( x \right)$ chia hết cho $latex {{x}^{2}}-Sx+P$

Nếu chia $latex P\left( x \right)$ cho $latex {{x}^{2}}-Sx+P$ ra $latex Q\left( x \right)$ thì ta có $latex P\left( x \right)=Q\left( x \right)\left( {{x}^{2}}-Sx+P \right)$[/dropshadowbox]

 

Bài toán 1. Giải phương trình $latex {{x}^{2}}-3x-2=\left( x-1 \right)\sqrt{2x+1}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $latex \left\{ \begin{align}  & 2x+1\ge 0 \\ & \left( {{x}^{2}}-3x-2 \right)\left( x-1 \right)\ge 0 \\\end{align} \right.$  $latex \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1\ge x\ge \dfrac{-1}{2} \\& x\ge \dfrac{3+\sqrt{17}}{2} \\\end{align} \right.$

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

${{\left( {{x}^{2}}-3x-2 \right)}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right)$ $ \Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-3x-2 \right)}^{2}}-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right)=0\\$

Thay $latex x=100$ vào vế trái của phương trình ta có:

image001 image003 1

${{\left( {{x}^{2}}-3x-2 \right)}^{2}}-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2x-1 \right)=92081203=100000000-7918797\\$

Phân tích:

  • $100000000={{x}^{4}}\\$
  • $latex 7918797\to 7\sim 91\sim 87\sim 97$ $latex \to 7\sim \left( 100-9 \right)\sim \left( 100-13 \right)\sim \left( 100-3 \right)$

Suy ra:

${{\left( {{x}^{2}}-3x-2 \right)}^{2}}-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right)\\$

$={{x}^{4}}-\left[ 7{{x}^{3}}+\left( x-9 \right){{x}^{2}}+\left( x-13 \right)x+\left( x-3 \right) \right]\\$

$={{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+12x+3\\$

Như vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:  $latex {{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+12x+3=0$

Sử dụng máy tính Casio fx 580 VNX để giải phương trình bậc 4

image005

image007 image009 image011 image013

So lại điều kiện ta loại 2 nghiệm $latex {{x}_{2}}$, $latex {{x}_{3}}$ và nhận $latex {{x}_{1}},{{x}_{4}}$

Do nghiệm của phương trình bậc 4 này ở dạng số thập phân khá phức tạp nên ta sẽ sử dụng định lý Viet đảo để tìm nghiệm của hai phương trình bậc 2.

Lưu lại 2 nghiệm $latex {{x}_{1}},{{x}_{4}}$ của phương trình bậc 4 trên vào các ô nhớ $latex A$và $latex D$

image015 image017

Như vậy ta có: $latex {{x}_{1}},{{x}_{4}}$ là nghiệm của phương trình $latex {{x}^{2}}-6x-3=0$

image019 image021 image023

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $latex {{x}_{1}}=3+2\sqrt{3}$và $latex {{x}_{2}}=3-2\sqrt{3}$

Bài toán 2. Giải phương trình $latex {{x}^{2}}-6x-2=\sqrt{x+8}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện:$latex \left\{ \begin{align} & x+8\ge 0 \\& {{x}^{2}}-6x-2\ge 0 \\\end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -8 \\& x\ge 3+\sqrt{11}\vee x\le 3-\sqrt{11} \\\end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -8\le x\le 3-\sqrt{11} \\ & x\ge 3+\sqrt{11} \\\end{align} \right.$

Bình phương hai vế phương trình ta được: $latex {{\left( {{x}^{2}}-6x-2 \right)}^{2}}=x+8$

Thay $latex x=100$ vào $latex {{\left( {{x}^{2}}-6x-2 \right)}^{2}}$ ta được: $latex {{\left( {{x}^{2}}-6x-2 \right)}^{2}}$$latex =88311404={{100}^{4}}-11677596$

image025

Phân tích: $latex 11677596\to 11\sim 67\sim 75\sim 96\to 11\sim \left( x-33 \right)\sim \left( x-25 \right)\sim \left( x-4 \right)$

Như vậy :

${{\left( {{x}^{2}}-6x-2 \right)}^{2}}=x+8\\$

$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\left[ 11{{x}^{3}}+\left( x-33 \right){{x}^{2}}+\left( x-25 \right)x+\left( x-4 \right) \right]=x+8\\$

$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+32{{x}^{2}}+23x-4=0\\$

Sử dụng máy tính Casio fx 580 vnx để giải và lưu lần lượt các nghiệm của phương trình bậc 4 trên vào các ô nhớ A, B, C và D

image027

image029 image031 image033 image035

Dựa vào kết quả các nghiệm ta sẽ tính các tổng và tích

image037 image039

image041 image043

Như vậy $latex {{x}_{1}},{{x}_{3}}$ là nghiệm của phương trình $latex {{x}^{2}}-7x+1=0$ và $latex {{x}_{2}},{{x}_{4}}$ là nghiệm của phương trình $latex {{x}^{2}}-5x-4=0$

image045 image047 image049

image051 image053 image055

So lại điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $latex x=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}$ và $latex x=\dfrac{5-\sqrt{41}}{2}$

Bài toán 3. Giải phương trình $latex 3{{x}^{2}}=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+4x+2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $latex 3{{x}^{2}}=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+4x+2}$ $latex \Leftrightarrow 27{{x}^{6}}={{x}^{3}}+4x+2$ $latex \Leftrightarrow 27{{x}^{6}}-{{x}^{3}}-4x-2=0$

Sử dụng qr(SOLVE) để dò nghiệm phương trình trên và lưu nghiệm vào ô nhớ A và B

image057 image059

image061 image063

Tính tổng và tích của hai nghiệm trên

image065 image067

Như vậy hai nghiệm trên cũng là nghiệm của phương trình $latex {{x}^{2}}-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}=0$

Suy ra  $latex 27{{x}^{6}}-{{x}^{3}}-4x-2=\left( {{x}^{2}}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3} \right)Q\left( x \right)$

$latex \Rightarrow Q\left( x \right)=\dfrac{27{{x}^{6}}-{{x}^{3}}-4x-2}{{{x}^{2}}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}}$

Thay $latex x=100$ vào biểu thức ta có $latex Q\left( 100 \right)=2709120606\to 27-09-12-06-06$

image069

$latex \to Q\left( x \right)=27{{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+6$

Suy ra  $latex 27{{x}^{6}}-{{x}^{3}}-4x-2$$latex =\left( {{x}^{2}}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3} \right)\left( 27{{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+6 \right)$

Ta có:  $latex Q\left( x \right)=27{{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+6$ $latex =3{{x}^{2}}\left( 9{{x}^{2}}+3x+1 \right)+\left( 9{{x}^{2}}+6x+1 \right)+5$ $latex >0\forall x\in \mathbb{R}$

Như vậy nghiệm của bài toán là nghiệm của phương trình $latex {{x}^{2}}-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}=0$

image071 image073 image075

So với điều kiện ban đầu ta có nghiệm của phương trình đã cho là $latex x=\dfrac{1\pm \sqrt{13}}{6}$


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NÂNG LŨY THỪA VÀ ĐỊNH LÝ VIET ĐẢO ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH . Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO

Chia sẻ

About Ngọc Hiền Bitex

Bitex Ngọc Hiền

Bài Viết Tương Tự

hinh1 1

Bài toán về phép giải tam giác trong bài thi HSG MTCT cấp THCS

Tháng 1/2021 kỳ thi HSG MTCT do SGD và ĐT TP HCM tổ chức tiếp …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết