Câu phương trình Chuyên Đại học Vinh năm 2016 Lần 2

Câu phương trình Chuyên Đại học Vinh năm 2016 Lần 2
 
$${2^{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = {4^x}{\log _2}\left( {3x} \right)$$
Điều kiện: $x >0$.
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:
$${2^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = {2^{3x}}{\log _2}\left( {3x} \right)\,\,\,\,(1)$$
 
Nhận thấy $f(u)=f(v)$ với $u = x + \sqrt {{x^2} + 1} ;v = 3x$ và hàm đặc trưng $f(t)=2^t+\log_2{t}$.
Tuy nhiên miền xác định của $u$ là $D_u=\left( {1; + \infty } \right)$ còn $D_v=\left( {1; + \infty } \right)$
Hai miền xác định này không trùng nhau, hơn nữa $3x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{3}$ nên xét hai trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: $0<x\leq \dfrac{1}{3}$. Khi đó $${2^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)>0$$, $${2^{3x}}{\log _2}\left( {3x} \right)<0$$
 
Vậy với $x$ thuộc miền này thì phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: $x>\dfrac{1}{3}$, lúc này $D_u$ trùng $D_v$ nên xét hàm $f(t)=2^t+\log_2{t}$ có:
$$f'(t) = {2^t}\ln 2{\log _2}t + {2^t}.\dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0{\rm{  }}\forall t \in (1; + \infty )$$
Suy ra (1) tương đương với $x + \sqrt {{x^2} + 1}  = 3x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

 

Chia sẻ

About TailieuCasio

TailieuCasio

Bài Viết Tương Tự

Capture

THỰC HIỆN MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VN X

Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc giải quyết những bài toán số phức còn gặp nhiều hạn chế. Năm bắt được vấn đề đó, Bitex EDU biên soạn tài liệu này nhằm hỗ trợ các em học sinh 12 một số hướng dẫn giải các bài toán số phức trên máy tính Casio fx-580VN X nhằm giúp các em có những sự chuẩn bị tốt nhất trong các kì thi sắp tới.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết