Topic phương trình vô tỉ 2017

28/10/2017
742 lượt xem
casiobitex

Lời nói đầu:

Phương trình vô tỉ là một trong những vấn đề khó trong chương trình toán bậc THCS, THPT và thường xuất hiện trong các kì thi HSG cấp tỉnh, thành phố, các đề thi giải toán trên máy tính cầm tay, đề thi tuyển sinh THPT Quốc gia.

Học sinh thường gặp hai khó khăn trong việc tìm kiếm câu trả lời cho hai vấn đề sau:

Phương trình vô tỉ đang xét có nghiệm bằng bao nhiêu, có bao nhiêu nghiệm? Khi phương trình đang xét có nghiệm nhưng không biết chính xác nghiệm bằng bao nhiêu (nghiệm hữu tỉ) thì giải quyết thế nào?
Phương pháp giải thích hợp cho phương trình đang xét là phương pháp nào?

Tùy theo mức độ khó dễ của các bài toán, phương trình được đặt ra có nhiều phương pháp giải khác nhau.

Trong topic này, chúng tôi hi vọng sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu và trả lời được hai vấn đề nêu trên cũng như nắm vững các phương pháp chính trong giải phương trình vô tỉ. Cụ thể là:

a. Tìm được nghiệm của phương trình đang xét

b. Phân tích để đưa các biểu thức về dạng đơn giản

c. Sử dụng một số định lí và thuật toán trong giải tích toán học: Lagrange, thuật toán Newton Rapshon,…

d. Tư duy logic, sử dụng kiến thức căn bản để giải các bài tập với mức độ khó tăng dần

e.Sử dụng thành thạo máy tính Casio FX570VNPLUS tìm nghiệm của phương trình, dò khoảng tồn tại nghiệm của phương trình, đánh giá các vế của phương trình

f. Tạo nhân tử chung thông qua định lí Bezout

g. Tìm được đa thức nhận các nghiệm hửu tỉ hoặc vô tỉ làm nghiệm

Với mỗi bài toán lại có nhiều cách giải khác nhau, ở đây chúng tôi cùng thảo luận và đưa ra các lời giải cho là hợp lí và dễ dàng nhất.

Phần lớn các bài toán trong mục này được chúng tôi sưu tầm từ các đề thi Toán trong các kì thi lớn trên toàn quốc, một số đề thi tham khảo các nước trên thế giới, các bài toán được thảo luận sôi nổi trên fanpage facebook và các bài toán do Admin cùng các thành viên tự sáng tác được trình bày theo một hệ thống nhất định (thứ tự bài đăng kèm theo nguồn trích dẫn+ lời giải bài toán).

Để hiểu rõ hơn các tính năng mới trên máy tính Casio FX570VNPLUS, Mời bạn đọc đọc thêm chủ đề: Các tính năng trên máy tính Casio FX570VNPLUS (link kèm theo)

Hi vọng rằng, topic này sẽ có nhiều điều thú vị dành cho bạn đọc cùng các thành viên.

Thân ái,

Admin

Bài số 1. giải phương trình sau trên tập số thực:

$x=\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{6-x}+\sqrt{6-x}\sqrt{2-x}$

(Trích đề thi HSG môn Toán THPT Nguyễn Huệ năm học 2016-2017)

Lời giải:

Nhập phương trình vào máy tính; gán các giá trị $X=$ 0; 1; 2 cho biến màn hình hiên thị kết quả $x=2$

Đề xuất phương pháp giải: Phương pháp hàm số.

Thực hiện lời giải: Điều kiện: $x\leq 2$ .

Thấy rằng phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $0\leq x\leq 2$ .

Xét hàm số $f\left ( x \right )=x-\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}-\sqrt{3-x}\sqrt{6-x}-\sqrt{6-x}\sqrt{2-x}$ trên $\left [ 0;2 \right ]$ có đạo hàm

$f'\left ( x \right )=1+\frac{\sqrt{3-x}}{2\sqrt{2-x}}+\frac{\sqrt{2-x}}{2\sqrt{3-x}}+\frac{\sqrt{3-x}}{2\sqrt{6-x}}+\frac{\sqrt{6-x}}{2\sqrt{3-x}}+\frac{\sqrt{6-x}}{2\sqrt{2-x}}+\frac{\sqrt{2-x}}{2\sqrt{6-x}}>0 \left ( \forall 0<x<2 \right )$

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên $\left [ 0;2 \right ]$ .

Suy ra phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm trên $\left [ 0;2 \right ]$ .

Mà $f\left ( 2 \right )=0$ nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài số 2. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$x^{3}-3x^{2}+2\sqrt{\left ( x+2 \right )^{3}}-6x=0$

(Trích đề thi HSG môn Toán lớp 12 TP Hà Nội năm 2017-2018)

Bài số 3. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt{3x}-\sqrt{7-2x}=x^{3}-3x^{2}+10x-28$

Lời giải: Điều kiện $0\leq x\leq \frac{7}{2}$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=2$ màn hình cho kết quả: $x=3$

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp.

Ta đi tới lời giải sau đây:

Viết phương trình đã cho về dạng $\sqrt{3x}-3+1-\sqrt{7-2x}=x^{3}-3x^{2}+10x-30$

$\Leftrightarrow \frac{3\left ( x-3 \right )}{\sqrt{3x}+3}+\frac{2\left ( x-3 \right )}{1+\sqrt{7-2x}}=\left ( x-3 \right )\left ( x^{2}+10 \right )$

Từ đây suy ra $x=3$

hoặc $\frac{3}{\sqrt{3x}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{7-2x}}= x^{2}+10 \left ( * \right )$

Nhận xét rằng với $0\leq x\leq \frac{7}{2}$ thì $\frac{3}{\sqrt{3x}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{7-2x}}<3$ và $x^{2}+10\geq 10$ nên phương trình $\left ( * \right )$ vô nghiệm.

Do đó, nghiệm của phương trình là $x=3$ .

Bài số 4. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$x^{3}-x^{2}-10x-2=\sqrt[3]{7x^{2}+23x+12}$

(Trích đề thi HSG môn Toán lớp 12 TP. Hà Nội năm 2011-2012)

Lời giải:

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=-1000$ lưu vào A, cho $X=1000$ lưu giá trị vào B. Lấy A+B=-3, A.B=1. Suy ra A, B là nghiệm của đa thức $x^{2} -3x+1$ . Do đó cần phân tích phương trình chứa nhân tử $\left ( x^{2} -3x+1\right )$ .

Tương tự như trên nhập phương trình và gán giá trị cho biến $X=3$ tìm được $x=4$ .

Hoặc gán giá trị A tính giá trị biểu thức $\sqrt[3]{7A^{2}+23A+12}$ ta được $\sqrt[3]{7A^{2}+23A+12}=A+2$ .

Đề xuất phương pháp giải: Hàm số hoặc nhân lượng liên hợp.

Ta đi tới lời giải sau đây:

Phương trình đã cho tương đương

$\left ( x+2 \right )^{3}+\left ( x+2 \right )=\sqrt[3]{7x^{2}+23x+12}+7x^{2}+23x+12$

Xét hàm số $f\left ( t \right )=t^{3}+t$ trên $R$ .

Tính đạo hàm $f'\left ( t \right )=3t^{2}+1>0 \left ( \forall t\epsilon R \right )$ nên hàm số $f\left ( t \right )$ đồng biến trên $R$ .

Suy ra $f\left ( x+2 \right )=f(\sqrt[3]{7x^{2}+23x+12})\Rightarrow x+2=\sqrt[3]{7x^{2}+23x+12}$

Lập phương hai vế ta thu được $\left ( x-4 \right )\left ( x^{2}-3x+1 \right )=0$ .

Khi đó, phương trình có nghiệm $x=4, x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ .

Bài số 5.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$x^{2}-8\left ( x+3 \right )\sqrt{x-1}+22x-7=0$

(Trích đề thi HSG môn Toán lớp 12 TP. Hồ Chí Minh năm 2011-2012)

Bài số 6.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\left ( 3x+2 \right )\sqrt{2x-3}=2x^{2}+3x-6$

Lời giải: Điều kiện $x\geq \frac{3}{2}$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=\frac{3}{2}, X=3,X=1000$ màn hình hiển thị kết quả $x=2$ ..

Đề xuất phương pháp: Bình phương hai vế, đặt ẩn phụ hoặc nhân lượng liên hợp.

Ta đi tới lời giải sau đây:

Cách 1: Bình phương hai vế ta được phương trình

$4x^{4}-6x^{3}-12x^{2}-8x+48=0\Leftrightarrow x=2$

Cách 2: Đặt $t=\sqrt{2x-3} \left ( t\geq 0 \right )$ , ta đưa phương trình đã cho về dạng

$t^{4}-3t^{3}+9t^{2}-13t+6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow x=2$

Cách 3: : Đặt $t=\sqrt{2x-3} \left ( t\geq 0 \right )$ , ta đưa phương trình đã cho về dạng

$t^{2}-\left ( 2x+2 \right )t+2x^{2}+x-3=0\Leftrightarrow \left ( t-2x-3 \right )\left ( t-x+1 \right )=0$

Từ đây tìm được nghiệm thỏa mãn.

Bài số 7. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{\sqrt{-x^{2}+x+2}+1}-\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{\sqrt{-x^{2}-x+4}}=x^{2}-1$

Bài số 8. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$11\sqrt{4-x}-26=-7x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{4+3x-x^{2}}$

Bài số 9. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$2x+\left ( 4x^{2}-1 \right )\sqrt{1-x^{2}}=4x^{3}+\sqrt{1-x^{2}}$

Bài số 10. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$5x^{3}-22x^{2}+22x-6+\sqrt{4x-3}=0$

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant \frac{3}{4}$

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị biến $X=2$ cho kết quả $x=1$ ; gán giá trị biến $X=100$ cho kết quả $x=3$ .

Ta sẽ phân tích phương trình đã cho có dạng nhân tử $\left ( x-1 \right )\left ( x-3 \right )$ .

Viết lại phương trình về dạng

$\left ( 5x^{3}-22x^{2}+23x-6 \right )-\left ( x-\sqrt{4x-3} \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-4x+3 \right )\left ( 5x-2 \right )-\frac{x^{2}-4x+3}{x+\sqrt{4x-3}}=0$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-4x+3 \right )\left ( 5x-2-\frac{1}{x+\sqrt{4x-3}} \right )=0 (*)$

Với $x\geqslant \frac{3}{4}$ thì $5x-2-\frac{1}{x+\sqrt{4x-3}}=5\left ( x-\frac{2}{3} \right )+\frac{4x-3+4\sqrt{4x-3}}{3\left ( x+\sqrt{4x-3} \right )}>0$

Do đó, phương trình $(*)\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0$

Từ đây tìm được hai nghiệm $x=1$ , $x=3$ .

Bài số 11. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{2x^{2}+1}+\sqrt[3]{2x^{2}}$

Lời giải:

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=1000$ cho kết quả $x=1$ , gán giá trị cho biến $X=-1000$ cho kết quả $x=\frac{1}{2}$ .

Ta sẽ tách phương trình đưa về dạng $2x^{2}-x-1\Leftrightarrow 2x^{2}=x+1$

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp hoặc phương pháp hàm số.

Viết lại phương trình đã cho về dạng

$\sqrt[3]{\left ( \sqrt[3]{x+1} \right )^{2}+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{\left ( \sqrt[3]{2x^{2}} \right )+1}+\sqrt[3]{2x^{2}}$

Hàm số $f\left ( t \right )=t+\sqrt[3]{t^{2}+1}$ đồng biến trên R nên từ $f\left ( \sqrt[3]{x+1} \right )=f\left ( \sqrt[3]{2x^{2}} \right )\Rightarrow x+1=2x^{2}$

Từ đây giải được $x=1$ , $x=\frac{1}{2}$ .

Bài số 12.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$2\sqrt{2x-3}+\sqrt{9-4x}=x^{2}-4x+7$

Lời giải: Điều kiện $\frac{3}{2}\leqslant x\leq \frac{9}{4}$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=2$ cho nghiệm $x=2$ .

Tính đạo hàm của hàm số $f\left ( x \right )=2\sqrt{2x-3}+\sqrt{9-4x}-x^{2}+4x-7$ :

$\tfrac{d}{dx}\left ( 2\sqrt{2x-3}+\sqrt{9-4x}-x^{2}+4x-7 \right )_{x=2}$ $=0$

nên $x=2$ là nghiệm kép của phương trình đã cho.

Sử dụng TABLE tính các giá trị của hàm số $f\left ( x \right )$ trên đoạn $\left [ \frac{3}{2}; \frac{9}{4} \right ]$ với $Start=\frac{3}{2},End=\frac{9}{4}, Step=0,25$ ta được $f\left ( 2 \right )=0$ .

Ta phân tích $2\sqrt{2x-3}=ax+b, \sqrt{9-4x}=cx+d$ sao cho các đẳng thức bằng nhau tại điểm $x=2$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp.

Viết lại phương trình đã cho về dạng $\left ( 2\sqrt{2x-3}-2x+2 \right )+\left ( \sqrt{9-4x} +2x-5\right )=x^{2}-4x+4$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )^{2}\left ( \frac{2}{\sqrt{2x-3}+x-1}+\frac{4}{\sqrt{9-4x}+5-2x}+1 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )^{2}=0\Leftrightarrow x=2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=2$ .

Bài số 13. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt[4]{7x^{2}+11x+6}-\sqrt{3x}=x-6$

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant 0$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=1000$ cho kết quả $x=6$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp.

Phương trình đã cho tương đương

$\frac{\sqrt{7x^{2}+11x+6}-3x}{\sqrt[4]{7x^{2}+11x+6}+\sqrt{3x}}=x-6$

$\Leftrightarrow \frac{-2x^{2}+11x+6}{\left ( \sqrt{7x^{2}+11x+6}+3x \right )\left ( \sqrt[4]{7x^{2}+11x+6}+\sqrt{3x} \right )}=x-6$

$\Leftrightarrow \left ( x-6 \right )\left ( \frac{2x+1}{A} +1\right )=0$

trong đó $A={\left ( \sqrt{7x^{2}+11x+6}+3x \right )\left ( \sqrt[4]{7x^{2}+11x+6}+\sqrt{3x} \right )}$

Thấy rằng $\frac{2x+1}{A}+1>0\forall x\geqslant 0$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x=6$ .

Bài số 14. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt{x^{2}+15}=3\sqrt[3]{x}-2+\sqrt{x^{2}+8}$

Lời giải:

Trước hết thấy rằng để phương trình có nghiệm thì $x\geqslant \frac{8}{27}$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=1000$ cho kết quả $x=1$ .

Đề xuất phương pháp giải: Phương pháp hàm số hoặc nhân lượng liên hợp.

Xét hàm số $f\left ( x \right )=\sqrt{x^{2}+15}-\sqrt{x^{2}+8}-3\sqrt[3]{x}-2$ trên $\left ( \frac{8}{27}; +\infty \right )$ .

Tính đạo hàm $f'\left ( x \right )=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+15}}-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}<0\forall x\epsilon \left ( \frac{8}{27}; +\infty \right )$

Nên hàm số đã có nghịch biến trên $\left ( \frac{8}{27}; +\infty \right )$ . Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm trên $\left ( \frac{8}{27}; +\infty \right )$ .

Mà $f\left ( 1 \right )=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài số 15. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\frac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-2x+3}=\left ( x+1 \right )\left ( \sqrt{x+2}-2 \right )$

(Trích đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015)

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant -2$

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=1$ cho kết quả $x=2$ , gán giá trị cho biến $X=-2, X=1000$ cho kết quả số hữu tỉ lưu vào $A$ , tính giá trị $\sqrt{A+2}$ ta được $\sqrt{A+2}=A-1$ . Như vậy có nhân tử $\left ( \sqrt{x+2}-x+1 \right )$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp, Phương pháp hàm số.

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương:

$\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )}{x^{2}-2x+3}=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}{\sqrt{x+2}+2}$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left ( \frac{x+4}{x^{2}-2x +3} -\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}\right )=0$ Giải phương trình $\frac{x+4}{x^{2}-2x +3} -\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}=0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+2}+2 \right )\left ( x+4 \right )=\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}-2x+3 \right )$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+2}+2 \right )\left ( \left ( \sqrt{x+2} \right )^{2}+2 \right )=\left ( \left ( x-1 \right )^{2}+2 \right )\left ( \left ( x-1 \right )+2 \right )$

Xét hàm số $f\left ( t \right )=\left ( t+2 \right )\left ( t^{2}+2 \right )=t^{3}+2t^{2}+2t+4$ trên $R$ .

Tính đạo hàm $f'\left ( t \right )=3t^{2}+4t+2>0\forall t\epsilon R$ nên hàm số $f\left ( t \right )$ đồng biến trên $R$ .

Suy ra $f\left ( \sqrt{x+2} \right )=f\left ( x-1 \right )\Rightarrow \sqrt{x+2}=x-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1 & & \\ x^{2}-3x-1=0& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=2, x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ .

Bài số 16. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^{2}}=10-3x$

(Trích đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối B năm 2011)

Lời giải: Điều kiện $-2\leqslant x\leq 2$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=2, X=-2, X=0$ cho kết quả $x=1,2=\frac{6}{5}$ .

Để ý rằng $2\sqrt{2+x}.2\sqrt{2-x}=4\sqrt{4-x^{2}}, 2+2x+4\left ( 2-x \right )=10-2x$

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp, đặt ẩn phụ.

Phương trình đã cho tương đương:

$3\left ( \sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x} \right )+4\sqrt{4-x^{2}}=10-3x$

Đặt $t=\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}$ , phương trình tương đương $3t=t^{2}\Leftrightarrow t^{2}-3t=0\Leftrightarrow t\left ( t-3 \right )=0$

Với $t=0\Rightarrow x=\frac{6}{5}$ .

Với $t=3\Rightarrow \sqrt{2+x}=2\sqrt{2-x}+3$ . Ta có $\sqrt{x+2}\leq 2, 2\sqrt{2-x}+3\geq 3 \left ( \forall x\epsilon \left [ -2;2 \right ] \right )$ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{6}{5}$ .

Bài số 17.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

(Trích đề thi tuyển sinh đại học môn toán khối B năm 2010)

Lời giải: Điều kiện

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=4$ cho kết quả $x=5$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp, Phương pháp hàm số.

Phương trình đã cho tương đương:

$\left ( \sqrt{3x+1}-4 \right )+\left ( 1-\sqrt{6-x} \right )+3x^{2}-14x-5=0$

$\Leftrightarrow \frac{3\left ( x-5 \right )}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+\left ( x-5 \right )\left ( 3x+1 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-5 \right )\left ( \frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1 \right )=0$

Với $-\frac{1}{3}\leqslant x\leq 6$ thì $\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1 >0$ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=5$ .

Bài số 18. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$2x^{3}+9x^{2}-6x\left ( 1+2\sqrt{6x-1} \right )+2\sqrt{6x-1}+8=0$

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant \frac{1}{6}$

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=5, X=1000$ cho kết quả $x=3,4142...$ lưu giá trị này là $A$ , tính giá trị biểu thức $\sqrt{6A-1}=4,4142...$ từ đây suy ra $\sqrt{6x-1}=x+1$ .

Tương tự, gán giá trị cho biến $X=1$ cho kết quả $x=0,5857...$ lưu vào $B$ , ta cũng có

$\sqrt{6B-1}=B+1$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp, Phương pháp hàm số.

Viết lại phương trình đã cho về dạng:

$2x^{3}+9x^{2}-6x+8=2\left ( 6x-1 \right )\sqrt{6x-1}$

$\Leftrightarrow 2\left ( x+1 \right )^{3}+3\left ( x+1 \right )^{2}=2\sqrt{\left ( 6x-1 \right )^{3}}+3\sqrt{\left ( 6x-1 \right )^{2}}$

Xét hàm số $f\left ( t \right )=2t^{3}+3t^{2}$ , $t\geqslant 0$ .

Tính đạo hàm $f'\left ( t \right )=6t^{2}+6t\geqslant 0 \left ( \forall t\geqslant 0 \right )$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $\left [ 0; +\infty \right )$ .

Suy ra $f\left ( x+1 \right )=f\left ( \sqrt{6x-1} \right )\Leftrightarrow x+1=\sqrt{6x-1}$ .

Bình phương hai vế ta tìm được nghiệm $x=2\pm \sqrt{2}$ .

Bài số 19. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$x-\sqrt{x-8}-3\sqrt{x}+1=0$

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán TP.Hà Nội 2015-2016)

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant 8$

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=1000$ cho kế quả $x=9$ .

Kiểm tra

$\tfrac{d}{dx}\left ( x-\sqrt{x-8}-3\sqrt{x}+1 \right )_{x=9}$ $=0$ .

Ta tách phương trình có chứa nhân tử $\left ( x-9 \right )^{2}$

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp, Phương pháp hàm số.

Viết lại phương trình đã cho về dạng:

$x-9+\left ( 1-\sqrt{x-8} \right )+3\left ( 3-\sqrt{x} \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-9 \right )\left ( 1-\frac{1}{1+\sqrt{x-8}} -\frac{3}{3+\sqrt{x}}\right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-9 \right )\left ( \sqrt{x^{2}-8x}-3 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-9 \right )^{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-8x}+3}=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-9 \right )^{2}=0\Leftrightarrow x=9$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=9$ .

Bài số 20.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$x^{3}+6x^{2}-171x-40\left ( x+1 \right )\sqrt{5x-1}+20=0$

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán lần 2 THPT Bắc Yên Thành- Nghệ An năm 2015)

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant \frac{1}{5}$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=1000$ cho kết quả $x=21,77...$ lưu vào $A$ .

Tính $\sqrt{5A-1}=10,385...$ lưu vào $B$ . Thấy rằng $2B-A=-1$ nên có nhân tử $2\sqrt{5x-1}+1=x$ hay $2\sqrt{5x-1}+3=x+2$ .

Đề xuất phương pháp: Phương pháp hàm số, Nhân lượng liên hợp.

Viết phương trình đã cho về dạng:

$x^{3}+6x^{2}+12x+8-3\left ( x+2 \right )=\left ( 2\sqrt{5x-1} +3\right )^{3}-3\left ( 2\sqrt{5x-1}+3 \right )$

$\Leftrightarrow \left ( x+2 \right )^{3}-3\left ( x+2 \right )=\left ( 2\sqrt{5x-1} +3\right )^{3}-3\left ( 2\sqrt{5x-1}+3 \right )$

Xét hàm số $f\left ( t \right )=t^{3}-3t$ trên $\left ( 1;+\infty \right )$ .

Tính đạo hàm $f'\left ( t \right )=3t^{2}-3>0\left ( \forall t>1 \right )$ nên hàm số $f\left ( t \right )$ đồng biến trên $\left ( 1; +\infty \right )$ .

Suy ra $f\left ( x+2 \right )=f\left ( 2\sqrt{5x-3}+3 \right )\Leftrightarrow x+2=2\sqrt{5x-3}+3$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geqslant 1 & & \\ x^{2}-22x+5=0& & \Leftrightarrow x=11+\sqrt{116} \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=11+\sqrt{116}$ .

Bài số 21.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt[3]{x^{2}-1}-\sqrt{x^{3}-2}+x=0$

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant \sqrt[3]{2}$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị $X=1000$ cho kết quả $x=3$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp.

Viết phương trình đã cho về dạng $\left ( \sqrt[3]{x^{2}-1} \right-2 )+\left ( x-3 \right )=\sqrt{x^{3}-2}-5$

$\Leftrightarrow \left ( x-3 \right )\left ( \frac{x+3}{A}+1-\frac{x^{2}+3x+9}{\sqrt{x^{3}-2}+5} \right )=0$

trong đó $A=\left ( \sqrt[3]{x^{2}-1} \right )^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}-1}+4$ .

Xét phương trình $\frac{x+3}{A}+1-\frac{x^{2}+3x+9}{\sqrt{x^{3}-2}+5}=0$

$\Leftrightarrow \frac{x+3}{A}+1=\frac{x^{2}+3x+9}{\sqrt{x^{3}-2}+5}(*)$

Nhận xét: $x\geqslant \sqrt[3]{2}$ thì $VP_{(*)}>2>VT_{(*)}$ nên phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=3$ .

Bài số 22.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^{2}+x+5$

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant -\frac{1}{3}$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị $X=-\frac{1}{3}$ cho kết quả $x=0$ , gán giá trị $X=1000$ cho kết quả $x=1$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp.

Phương trình đã cho tương đương:

$2\left ( x^{2}-x \right )+\left ( x+1-\sqrt{3x+1} \right )+2\left ( x+2-\sqrt[3]{19x+8} \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-x \right )\left ( 2+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{2}{A} \right )=0(*)$

trong đó $A=\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( x+2 \right )\sqrt[3]{19x+8}+\sqrt[3]{\left ( 19x+8 \right )^{2}}$ .

Nhận xét rằng $2+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{2}{A}>0\left ( \forall x\geqslant -\frac{1}{3} \right )$ nên phương trình $(*)$ tương đương

$\left ( x^{2}-x \right )=0\Leftrightarrow x\left ( x-1 \right )=0$

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=0, x=1$ .

Bài số 23. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt{x-1}+x^{2}=\sqrt{x^{2}+21}$

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant 1$ .

Nhập phương trình vào máy tinh, gán giá trị cho biến $X=1000$ cho kết quả $x=2$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp.

Phương trình đã cho tương đương:

$\left ( \sqrt{x-1} \right -1)+\left ( x^{2} -4\right )=\left ( \sqrt{x^{2}+21} -5\right )$

$\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )=\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )}{\sqrt{x^{2}+21}+5}$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+x+2-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+21}+5} \right )=0$

Với $x\geqslant 1$ thì $\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+x+2-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+21}+5}>x+2-\frac{x+2}{5}=\frac{4\left ( x+2 \right )}{5}>0$

nên suy ra $x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm là $x=2$ .

Bài số 24. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\frac{5x-13-\sqrt{-3x^{2}+10x+57}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{19-3x}}+2\sqrt{x+3}=x^{2}+2x+9$

Lời giải: Điều kiện $-3\leqslant x\leq \frac{19}{3}$ , $x\neq 4$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị cho biến $X=10$ cho kết quả $x=1$ , gán giá trị cho biến $X=-2$ cho kết quả $x=-2$ .

Như vậy phương trình có chứa nhân tử $\left ( x^{2}+x-2 \right )$

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp.

Để ý rằng $\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{19-3x} \right )\left ( 2\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x} \right )=5x-3-\sqrt{-3x^{2}+10x+57}$

Viết lại phương trình đã cho về dạng:

$4\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x}=x^{2}+2x+9$

$\Leftrightarrow 4\left ( \sqrt{x+3}-\frac{x+5}{3} \right )+\left ( \sqrt{19-3x}-\frac{13-x}{3} \right )=x^{2}+x-2$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2} +x-2\right )\left ( \frac{4}{9\sqrt{x+3}+3\left ( x+5 \right )}+\frac{1}{9\sqrt{19-3x}+3\left ( 13-x \right )} \right )=0$

Chú ý rằng $\frac{4}{9\sqrt{x+3}+3\left ( x+5 \right )}+\frac{1}{9\sqrt{19-3x}+3\left ( 13-x \right )}>0\left ( \forall x\in \left [ -3;\frac{19}{3} \right ] \right )$

Suy ra $x^{2}+x-2=0$ .

Từ đây tìm được $x=1, x=-2$ .

Kiểm tra điều kiện xác định thì phương trình nhận $x=1, x=-2$ làm nghiệm.

Bài số 25.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$x^{3}+x+2\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x}-6=0$

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant 0$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị $X=1000$ cho kết quả $x=1$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp hoặc phương pháp hàm số.

Xét hàm số $f\left ( x \right )=x^{3}+x+2\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x}-6$ trên $\left [ 0; +\infty \right )$

Tính đạo hàm $f'\left ( x \right )=3x^{2}+1+4x\sqrt{x}+\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}>0 \left ( \forall x>0 \right )$

Suy ra hàm số $f\left ( x \right )$ đồng biến trên $\left [ 0; +\infty \right )$ .

Do đó phương trình $f\left ( x \right )=0$ có nhiều nhất một nghiệm thuộc $\left [ 0; +\infty \right )$ .

Mà $f\left ( 1 \right )=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài số 26.Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\left ( x+\sqrt{x-4} \right )^{2}+\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+2x+\sqrt{x-4}=50$

(Trích đề thi thủ THPT Quốc gia môn Toán chuyên Nguyễn Đình Chiểu, Đồng Tháp năm 2016)

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant 4$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị biến $X=1000$ cho kết quả $x=5$ . Nhận xét rằng vế trái của phương trình đã cho luôn dương.

Đề xuất phương pháp: Phương pháp hàm số.

Viết lại phương trình đã cho về dạng

$\left ( x+\sqrt{x-4} \right )^{2}+2x+2\sqrt{x-4}-48=0$

Đặt $f\left ( x \right )=\left ( x+\sqrt{x-4} \right )^{2}+2x+2\sqrt{x-4}-48$ trên $\left [ 4; +\infty \right )$ .

Tính đạo hàm $f'\left ( x \right )=2\left ( x+\sqrt{x-4} \right )\left ( 1+\frac{1}{2\sqrt{x-4}} \right )+2+\frac{1}{\sqrt{2x-4}}>0\left ( \forall x\in \left [ 4;+\infty \right ) \right )$

Suy ra hàm số $f\left ( x \right )$ đồng biến trên $\left [ 4; +\infty \right )$ .

Do đó, phương trình $f\left ( x \right )=0$ có nhiều nhất một nghiệm thuộc $\left [ 4; +\infty \right )$ .

Mà $f\left ( 5 \right )=0$ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=5$ .

Bài số 27. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\left ( 2-\frac{3}{x} \right )\left ( \sqrt{2x-1}-1 \right )=\frac{4-8x+9x^{2}}{3x+2\sqrt{2x-1}}$

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant 1$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị $X=1000$ cho kết quả $x=1$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp.

Phương trình đã cho tương đương:

$\left ( 2x-3 \right )\left ( 2\sqrt{x-1}-1 \right )=3x^{2}-2x\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow 2\left ( x-1-\sqrt{x-1} \right )^{2}+\left ( x-\sqrt{2x-1} \right )^{2}+2\left ( x-1+\sqrt{x-1} \right )=0$

Thấy rằng vế trái của phương trình luôn không âm, để đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x-1-\sqrt{x-1}=0 & & \\ x-\sqrt{2x-1}=0& & \\ x-1+\sqrt{x-1}=0 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1$ .

Bài số 28. Giải phương trình sau trên tập số thực:

$\sqrt{x+1}=\frac{x^{2}-x-2\sqrt[3]{2x+1}}{\sqrt[3]{2x+1}-3}$

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán THPT Bình Minh-Ninh Bình)

Lời giải: Điều kiện $x\geqslant -1, x\neq 13$ .

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị $X=-1$ cho kết quả $x=0$ , gán giá trị $X=1000$ cho kết quả $x=1.61...$ lưu vào $A$ .

Chú ý rằng $\sqrt[3]{2A+1}=\sqrt{A+1}=A$ .

Đề xuất phương pháp: Nhân lượng liên hợp, Phương pháp hàm số.

Phương trình đã cho tương đương:

$\left ( 2x+1 \right )+\sqrt[3]{2x+1}=\left ( x+1 \right )\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$

Hàm số $f\left ( t \right )=t^{3}+t$ đồng biến trên $R$ nên $f\left ( \sqrt[3]{2x+1} \right )=f\left ( \sqrt{x+1} \right )$ suy ra $\sqrt[3]{2x+1}=\sqrt{x+1}$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geqslant -\frac{1}{2} & & \\ x^{3}-x^{2}-x=0& & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x=0, x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$