BIẾN ĐỔI CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG ĐỂ CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN

Hệ thức lượng trong tam giác là nội dung quan trọng trong chương trình Trung học phổ thông. Tiếp nối bài viết Một số bài toán cơ bản về hệ thức lượng trong tam giác và Biến đổi công thức hệ thức lượng để chứng minh tam giác vuông bài viết này sẽ giới thiệu về bài toán chứng minh tam giác vuông bằng phương pháp biến đổi hệ thức lượng

Bài toán : Cho $latex G$ là trọng tâm của $latex \Delta ABC$. Chứng minh rằng  nếu $latex AB+GC=AC+GB$ thì $latex \Delta ABC$ là tam giác cân.

Nhận xét: Quan sát giả thiết bài toán ta thấy vai trò của $latex B$ và $latex C$ như nhau nên ta dự đoán $latex \Delta ABC$ cân tại $latex A$. Do đó ta cần chứng minh $latex AB=AC$     

Hướng dẫn giải:

tamgiaccan

Do $latex G$ là trọng tâm của $latex \Delta ABC$ nên ta có:

$latex GA=\dfrac{2}{3}AD$ ; $latex GB=\dfrac{2}{3}BE$; $latex GC=\dfrac{2}{3}CF$

Áp dụng định lý đường trung tuyến trong $latex \Delta ABC$ ta có:

$latex BE=\dfrac{\sqrt{2\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}}{2}\Rightarrow GB=\dfrac{\sqrt{2\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}}{3}$

Tương tự ta có:

$latex GC=\dfrac{\sqrt{2\left( A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}}}{3}$

Ta có:

$latex AB+GC=AC+GB$

$latex \begin{align} & \Leftrightarrow AB+\dfrac{\sqrt{2\left( A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}}}{3}=AC+\dfrac{\sqrt{2\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}}{3} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{2\left( A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}}-\sqrt{2\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}=3\left( AC-AB \right) \\ & \Leftrightarrow \dfrac{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}{\sqrt{2A{{C}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}+\sqrt{2A{{B}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}}=AC-AB \\\end{align}$

Giả sử: $latex AB<AC$

Do $latex BC>AC-AB$ nên ta có

$latex \sqrt{2A{{C}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}+\sqrt{2A{{B}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}$

$latex \begin{align} & >\sqrt{2A{{C}^{2}}+2{{\left( AC-AB \right)}^{2}}-A{{B}^{2}}}+\sqrt{2A{{B}^{2}}+2{{\left( AC-AB \right)}^{2}}-A{{C}^{2}}} \\ & =\sqrt{4A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-4AB.AC}+\sqrt{4A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-4AB.AC} \\ & =\sqrt{{{\left( 2AC-AB \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 2AB-AC \right)}^{2}}} \\ & =2AC-AB+\left| 2AB-AC \right| \\\end{align}$

Suy ra:

$latex \dfrac{AC+AB}{\left| 2AB-AC \right|+2AC-AB}>1$  (1)

Giả sử $latex AC<2AB$ thì

$latex \left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{AC+AB}{2AB-AC+2AC-AB}>1$

$latex \left( 1 \right)\Leftrightarrow 1>1$ (vô lý)

Giả sử $latex AC\ge 2AB$thì

$latex \left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{AC+AB}{AC-2AB+2AC-AB}>1$

$latex \left( 1 \right)\Leftrightarrow AC+AB>AC-3AB$

$latex \left( 1 \right)\Leftrightarrow 2AB>AC$ (Vô lý)

Như vậy $latex AB<AC$ là không thể xảy ra

Tương tự không thể xảy ra trường hợp $latex AC<AB$

Suy ra $latex AB=AC$.

Vậy $latex \Delta ABC$ cân tại$latex A$


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết BIẾN ĐỔI CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG ĐỂ CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN. Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO.

Chia sẻ

About Ngọc Hiền Bitex

Bitex Ngọc Hiền

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Đặc điểm của khối tứ diện khi biết trước độ dài của 6 cạnh

Đặt vấn đề: Khi ta gặp một khối tứ diện với độ dài  6 cạnh không …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết