Bài toán ứng dụng đồng dư thức tìm phép chia hết cho một số

Chứng minh rằng : [latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex] chia hết cho 7

Giải

Ta có 2222 + 4 [latex]\vdots[/latex] 7 => 2222  ≡ (- 4) (mod 7) => [latex]2222^{5555}[/latex]  ≡ [latex](-4)^{5555}[/latex](mod 7)

          5555 –  4  [latex]\vdots[/latex]7 => 5555  ≡   4 (mod 7) => [latex]5555^{2222}[/latex]  ≡ [latex]4^{2222}[/latex](mod 7)

=>[latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex]≡ [latex](-4)^{5555}+4^{2222}[/latex]  (mod 7)

Mà [latex]4^{2222}=(-4)^{2222}[/latex] 

[latex]\begin{gathered} \Rightarrow {( – 4)^{5555}} + {4^{2222}} = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} + {4^{2222}} \hfill \\ = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} – {( – 4)^{2222}} = {( – 4)^{2222}}({4^{3333}} – 1) \equiv ({4^3}) – 1 \hfill \\ \end{gathered}[/latex](mod 7)  (1)

Ta lại có : [latex]{4^3} \equiv 1[/latex](mod 7)[latex]{4^3} – 1 = 63 \vdots 7 \Rightarrow {4^3} – 1 \equiv 0[/latex] (mod 7)  (2)

Nên  [latex](-4)^{5555}+4^{2222}\equiv 0[/latex] (mod 7)

Từ (1) và (2) =>[latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex] chia hết cho 7. 

Chia sẻ

About toancasiobitex

Toancasiobitex

Bài Viết Tương Tự

me2

Một áp dụng của Định lý Mê-nê-la-uýt

Cho tam giác $ABC$. Trên các đoạn $CA$ và $CB$ ta lấy các điểm $D$ …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết