Bài toán ứng dụng đồng dư thức tìm phép chia hết cho một số
- 08/12/2017
- 1,351 lượt xem
Chứng minh rằng : [latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex] chia hết cho 7
Giải
Ta có 2222 + 4 [latex]\vdots[/latex] 7 => 2222 ≡ (- 4) (mod 7) => [latex]2222^{5555}[/latex] ≡ [latex](-4)^{5555}[/latex](mod 7)
5555 – 4 [latex]\vdots[/latex]7 => 5555 ≡ 4 (mod 7) => [latex]5555^{2222}[/latex] ≡ [latex]4^{2222}[/latex](mod 7)
=>[latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex]≡ [latex](-4)^{5555}+4^{2222}[/latex] (mod 7)
Mà [latex]4^{2222}=(-4)^{2222}[/latex]
[latex]\begin{gathered} \Rightarrow {( – 4)^{5555}} + {4^{2222}} = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} + {4^{2222}} \hfill \\ = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} – {( – 4)^{2222}} = {( – 4)^{2222}}({4^{3333}} – 1) \equiv ({4^3}) – 1 \hfill \\ \end{gathered}[/latex](mod 7) (1)
Ta lại có : [latex]{4^3} \equiv 1[/latex](mod 7)[latex]{4^3} – 1 = 63 \vdots 7 \Rightarrow {4^3} – 1 \equiv 0[/latex] (mod 7) (2)
Nên [latex](-4)^{5555}+4^{2222}\equiv 0[/latex] (mod 7)
Từ (1) và (2) =>[latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex] chia hết cho 7.