Bài toán ứng dụng đồng dư thức tìm phép chia hết cho một số

Chứng minh rằng : [latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex] chia hết cho 7

Giải

Ta có 2222 + 4 [latex]\vdots[/latex] 7 => 2222  ≡ (- 4) (mod 7) => [latex]2222^{5555}[/latex]  ≡ [latex](-4)^{5555}[/latex](mod 7)

          5555 –  4  [latex]\vdots[/latex]7 => 5555  ≡   4 (mod 7) => [latex]5555^{2222}[/latex]  ≡ [latex]4^{2222}[/latex](mod 7)

=>[latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex]≡ [latex](-4)^{5555}+4^{2222}[/latex]  (mod 7)

Mà [latex]4^{2222}=(-4)^{2222}[/latex] 

[latex]\begin{gathered} \Rightarrow {( – 4)^{5555}} + {4^{2222}} = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} + {4^{2222}} \hfill \\ = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} – {( – 4)^{2222}} = {( – 4)^{2222}}({4^{3333}} – 1) \equiv ({4^3}) – 1 \hfill \\ \end{gathered}[/latex](mod 7)  (1)

Ta lại có : [latex]{4^3} \equiv 1[/latex](mod 7)[latex]{4^3} – 1 = 63 \vdots 7 \Rightarrow {4^3} – 1 \equiv 0[/latex] (mod 7)  (2)

Nên  [latex](-4)^{5555}+4^{2222}\equiv 0[/latex] (mod 7)

Từ (1) và (2) =>[latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex] chia hết cho 7. 

Chia sẻ

About toancasiobitex

toancasiobitex

Bài Viết Tương Tự

Phép giải tam giác khi biết một chiều cao (bài 2)

2019. Cho tam giác ABC có các góc A, C nhọn; BC = 3,5; đường …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết